Question

3．（x²-x+2）¹⁰展開(kāi)式中x¹⁵的系數(shù)為-3372．

Answer 1

分析 設(shè)（x²-x+2）¹⁰展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$（x²-x）^r×2^10-r，（r=0，1，2，…，10）．設(shè)（x²-x）^r展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為${T}_{k+1}^{′}$=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{k}（-x）^{r-k}$=（-1）^r-k${∁}_{r}^{k}$x^r+k，令r+k=15，則分別取（r，k）為：（10，5），（9，6），（8，7），即可得出．

解答 解：設(shè)（x²-x+2）¹⁰展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$（x²-x）^r×2^10-r，（r=0，1，2，…，10）．
設(shè)（x²-x）^r展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為${T}_{k+1}^{′}$=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{k}（-x）^{r-k}$=（-1）^r-k${∁}_{r}^{k}$x^r+k，（k=0，1，2，…，r）
令r+k=15，則分別�。╮，k）為：（10，5），（9，6），（8，7），
可得x¹⁵的系數(shù)為：$（-1）^{5}{∁}_{10}^{5}$×${∁}_{10}^{10}$×2⁰+（-1）³${∁}_{9}^{6}$×${∁}_{10}^{9}$×2¹+（-1）¹${∁}_{8}^{7}$•${∁}_{10}^{8}$×2²=-3372．
故答案為：-3372．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．