Question

12．某商場為推銷當?shù)氐哪撤N特產(chǎn)進行了一次促銷活動，將派出的促銷員分成甲、乙兩個小組分別在兩個不同的場地進行促銷，每個小組各4人．以下莖葉圖記錄了這兩個小組成員促銷這種特產(chǎn)的件數(shù)．
（Ⅰ）在乙組中任選2位促銷員，求他們促銷的件數(shù)都多于甲組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率；
（Ⅱ）從這8名促銷員中隨機選取3名，設(shè)這3名促銷員中促銷多于35件的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出甲組4名人員促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)，從而得到乙組4名人員所促銷的件數(shù)比甲組平均數(shù)多的有3位同學(xué)，由此能求出在乙組中任選2位促銷員，求他們促銷的件數(shù)都多于甲組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率．
（Ⅱ）這8名促銷員所促銷件數(shù)多于35件的共有4人，則X的值可能為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）甲組4名人員促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為$\frac{29+31+32+44}{4}=34$（件）．（2分）
乙組4名人員所促銷的件數(shù)比甲組平均數(shù)多的有3位同學(xué)，
所以所求的概率$P=\frac{C_3^2}{C_4^2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．（4分）
（Ⅱ）這8名促銷員所促銷件數(shù)多于35件的共有4人，則X的值可能為0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{C_4^3C_4^0}{C_8^3}=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}$，
$P（X=1）=\frac{C_4^2C_4^1}{C_8^3}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^1C_4^2}{C_8^3}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^0C_4^3}{C_8^3}=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}$．（8分）
則X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

（10分）
所以X的數(shù)學(xué)期望EX=0×$\frac{1}{14}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{3}{7}$+3×$\frac{1}{14}$=$\frac{3}{2}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．