Question

已知實(shí)數(shù)m，n滿足：關(guān)于x的不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|的解集為R
（1）求m，n的值；
（2）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=m-n，求證：

a

+

b

+

c

≤

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）若不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|的解集為R，故3x²-6x-9=0時(shí)，x²+mx+n=0，進(jìn)而由韋達(dá)定理得到答案；
（2）運(yùn)用重要不等式a+b≥2

ab

，結(jié)合累加法和三個(gè)數(shù)的完全平方公式，即可得證．

解答： （1）解：∵不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|的解集為R，
令3x²-6x-9=0，得x=-1，或x=3，
故x=-1，或x=3時(shí)，x²+mx+n=0，
則x=-1和x=3為方程x²+mx+n=0的兩根，
故-1+3=2=-m，-1×3=-3=n，
解得：m=-2，n=-3，
當(dāng)m=-2，n=-3時(shí)，不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|即為
|x²-2x-3|≤3|x²-2x-3|，即有|x²-2x-3|≥0，則解集為R，
故m=-2，n=-3；
（2）證明：若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=m-n=1，
由a+b≥2

ab

，b+c≥2

bc

，c+a≥2

ca

．
累加得，2a+2b+2c≥2

ab

+2

bc

+2

ca

，
兩邊同時(shí)加a+b+c，可得
3（a+b+c）≥a+b+c+2

ab

+2

bc

+2

ca

，
即有3（a+b+c）≥（

a

+

b

+

c

）²，
即

a

+

b

+

c

≤

3(a+b+c)

=

3

．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)）
則

a

+

b

+

c

≤

3

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法和運(yùn)用，主要考查不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)考查二次方程的韋達(dá)定理的運(yùn)用，運(yùn)用均值不等式和累加法是證明不等式的關(guān)鍵．