Question

15．已知圓x²+y²=4經過$φ：\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}y\end{array}\right.$變換后得曲線C．
（1）求C的方程；
（2）若P，Q為曲線C上兩點，O為坐標原點，直線OP，OQ的斜率分別為k₁，k₂且${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$，求直線PQ被圓O：x²+y²=3截得弦長的最大值及此時直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）將$\left\{\begin{array}{l}x=x'\\ y=\frac{2}{{\sqrt{3}}}y'\end{array}\right.$代入x²+y²=4，能求出曲線C的方程；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ與圓O：x²+y²=3的交點為M，N，當直線PQ⊥x軸時，求得|MN|=2；當直線PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為y=kx+m，聯立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m，\;\;\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，\;\;\end{array}\right.$得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達定理、根的判別式、弦長公式，結合已知條件能求出直線PQ被圓O：x²+y²=3截得弦長的最大值及對應用的直線PQ的方程．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}x=x'\\ y=\frac{2}{{\sqrt{3}}}y'\end{array}\right.$代入x²+y²=4得${x'^2}+\frac{4}{3}{y'^2}=4$，
化簡得$\frac{{{{x'}^2}}}{4}+\frac{{{{y'}^2}}}{3}=1$，
即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$為曲線C的方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ與圓O：x²+y²=3的交點為M，N．
當直線PQ⊥x軸時，Q（x₁，-y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_1}{x_1}\;•\;\frac{{-{y_1}}}{x_1}=-\frac{3}{4}，\;\;\\ \frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\sqrt{2}，\;\;\\{y_1}=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-\sqrt{2}，\;\;\\{y_1}=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\;\;\end{array}\right.$
此時可求得$|MN|=2\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}-{{（\sqrt{2}）}^2}}=2$．
當直線PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為y=kx+m，
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m，\;\;\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，\;\;\end{array}\right.$消y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=48（4k²-m²+3），${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
所以${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}={k^2}\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}+km\frac{-8km}{{4{k^2}+3}}+{m^2}$
=$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，
由${k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_1}{x_1}\;•\;\frac{y_2}{x_2}=-\frac{3}{4}$得$\frac{{\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}}}=\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{4{m^2}-12}}=-\frac{3}{4}$，${m^2}=2{k^2}+\frac{3}{2}$，
此時$△=48（{2{k^2}+\frac{3}{2}}）＞0$．
圓O：x²+y²=3的圓心到直線PQ的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$|MN|=2\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}-{d^2}}$，
得$|MN{|^2}=4（{3-\frac{m^2}{{{k^2}+1}}}）=4（{3-\frac{{2{k^2}+\frac{3}{2}}}{{{k^2}+1}}}）=4[{3-\frac{{2（{k^2}+1）-\frac{1}{2}}}{{{k^2}+1}}}]=4+\frac{2}{{{k^2}+1}}$，
所以當$k=0，\;\;m=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$時，|MN|最大，最大值為$\sqrt{6}$，
綜上，直線PQ被圓O：x²+y²=3截得弦長的最大值為$\sqrt{6}$，
此時，直線PQ的方程為$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查弦長的最大值及對應的直線方程的求法，考查圓錐曲線、直線方程、韋達定理、根的判別式、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．