Question

15．若對(duì)?x∈[0，+∞），不等式2ax≤e^x-1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 對(duì)?x∈[0，+∞），不等式2ax≤e^x-1恒成立，
等價(jià)于函數(shù)y=2ax的圖象始終在函數(shù)y=e^x-1圖象的下方，其中x≥0；
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2ax和y=e^x-1的圖象，結(jié)合圖象求出a的最大值．

解答 解：對(duì)?x∈[0，+∞），不等式2ax≤e^x-1恒成立，
設(shè)y=2ax，y=e^x-1，其中x≥0；
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2ax和y=e^x-1的圖象如圖所示；

則y′=e^x，令x=0，得k=e⁰=1；
∴曲線y=e^x-1過點(diǎn)O（0，0）的切線斜率為k=1；
根據(jù)題意得2a≤1，解得a≤$\frac{1}{2}$，
∴a的最大值為$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立問題，解題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，是中檔題．