Question

14．已知F是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，P是拋物線上的一個動點(diǎn)，且A的坐標(biāo)為（0，-1），則$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角，當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)$\frac{|PF|}{|PA|}$最��；利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值．

解答 解：由題意可得，拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），
準(zhǔn)線方程為y=-1．
過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，
則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則 $\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角；
所以當(dāng)∠PAM最小時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小，
即當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小．
設(shè)切點(diǎn)P（2$\sqrt{a}$，a），由y=$\frac{1}{4}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x，
則PA的斜率為k=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a}$=$\sqrt{a}$=$\frac{a+1}{2\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（2，1），
∴|PM|=2，|PA|=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．