Question

1．設(shè)f（x）=alnx-x+4，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在$x∈[{\frac{1}{2}，4}]$的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得a的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，以及端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到所求的最值．

解答 解：（1）f（x）=alnx-x+4的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-1，
則在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為a-1，
切線垂直于y軸，可得a-1=0，解得a=1；
（2）f（x）=lnx-x+4的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）=0，可得x=1，
由x＞1，f′（x）＜0，f（x）遞減；
由0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得x=1處取得極大值，也為最大值，且為3；
由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$-ln2，f（4）=ln4，f（4）＜f（$\frac{1}{2}$），
可得f（4）為最小值，且為ln4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．