Question

1．直線1通過(guò)點(diǎn)P（1，3）且與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）直線1與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為6，求直線1的方程；
（2）求OA+OB的最小值；
（3）求PA•PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線l的方程為y-3=k（x-1）（k＜0），求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式得答案；
（2）寫(xiě)出OA+OB的含有k的代數(shù)式，利用基本不等式求得最值；
（3）設(shè)出直線l的參數(shù)方程，利用t的幾何意義求出PA，PB然后利用三角函數(shù)求最值．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為y-3=k（x-1）（k＜0），
由x=0，得y=3-k，由y=0，得x=$1-\frac{3}{k}$，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}（3-k）（1-\frac{3}{k}）$=6，解得：k=-3；
（2）OA+OB=3-k+1-$\frac{3}{k}$=4+（-k）+（-$\frac{3}{k}$）$≥4+2\sqrt{-k•（-\frac{3}{k}）}=4+2\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)-k=-$\frac{3}{k}$，即k=-$\sqrt{3}$時(shí)上式“=”成立；
（3）設(shè)直線l的傾斜角為α，則它的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
由A、B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，不妨設(shè)y_A=0，x_B=0，
∴0=3+tsinα，即PA=|t|=$\frac{3}{sinα}$，
0=3+tcosα，即PB=|t|=-$\frac{1}{cosα}$．
故PA•PB=$\frac{3}{sinα}•（-\frac{1}{cosα}）$=-$\frac{6}{sin2α}$．∵90°＜α＜180°，
∴當(dāng)2α=270°，即α=135°時(shí)，PA•PB有最小值．
∴直線方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程即x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的截距式方程，考查直線的參數(shù)方程和普通方程的互化，特別是要求直線上某一定點(diǎn)到直線與曲線交點(diǎn)距離時(shí)通常要使用參數(shù)的幾何意義，宜用參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，而對(duì)于某些比較簡(jiǎn)單的直線問(wèn)題比如求直線和坐標(biāo)軸或者與某條直線交點(diǎn)時(shí)宜用直線的普通方程，此題是中檔題．