Question

已知拋物線y²=-4x的焦點為F，其準線與x軸交于點M，過M作斜率為K的直線l與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中點為P，AB的垂直平分線與x軸交于E（x₀，0）．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x₀＜-3；
（3）△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意求出拋物線的準線方程，求出M的坐標，寫出直線方程的點斜式，和拋物線方程聯(lián)立后由判別式等于0得答案；
（2）利用一元二次方程的根與系數(shù)關系求出AB中點P的坐標，代入直線方程求P得縱坐標，寫出AB的垂直平分線方程，求出與x軸交于E的坐標，由（1）中求得的k的范圍得到x₀＜-3；
（3）若△PEF能成為以EF為底的等腰三角形，則EF中點的橫坐標與P的橫坐標相等，由此列式求得k的值．

解答： （1）解：由題意，M（1，0），
設斜率為k的直線方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程，整理可得k²x²-（2k²-4）x+k²=0．
∵過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點，
∴（2k²-4）²-4k⁴＞0且k≠0，
∴-1＜k＜0或0＜k＜1．
∴k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）；     
（2）證明：由（1）知，k²x²-（2k²-4）x+k²=0．
∵過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中點為P．
∴P的橫坐標為

k2-2

k2

，
代入y=k（x-1），可得P的縱坐標為-

2

k

．
∴AB的垂直平分線方程為y+

2

k

=-

1

k

（x-

k2-2

k2

）．
令y=0，可得x=-1-

2

k2

．
∵-1＜k＜0或0＜k＜1，
∴k²＜1且k≠0，
∴

2

k2

＞2，
∴1+

2

k2

＞3，即x₀＜-3；
（3）若△PEF能成為以EF為底的等腰三角形，則
由EF中點的橫坐標與P的橫坐標相等，可得

-1-1- 2 k2

2

=

k2-2

k2

，
∴2k²=1．
即k=±

2

2

．
故△PEF能成為以EF為底的等腰三角形，此時k=±

2

2

．

點評：本題考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線與拋物線的關系，綜合考查了學生靈活運用拋物線的性質(zhì)求解問題的能力，是高考試卷中的壓軸題．