Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=

3

AB，且E為PB中點(diǎn)時，求AE與平面PDB所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證明面面垂直首先要通過線面垂直來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后找到線面垂直的充分條件即可．
（2）要求直線與平面的夾角，可以在線上找到一點(diǎn)作面的垂線，然后通過解三角形知識求解．

解答： 證明：如圖所示：

連接AC，BD交于O，ABCD的底面是正方形，
∴AC⊥BD，
∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面ACE，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）由于E為PB中點(diǎn)，連接OE，
由（1）得OE⊥AC，OE⊥BD，
∴∠EAC就是AE與平面PDB所成角，
設(shè)AB=1  PD=

3

AB，
PD=

3

，
∴AC=

2

  AO=

2

2

  OE=

3

2

，
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

2 2

3 2

=

6

3

，
AE與平面PDB所成角的正切值為

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面垂直的判定定理，直線與平面的夾角，解直角三角形知識，是高考的重點(diǎn)題型．