Question

12．已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，若對(duì)于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：f（x）在[-1，1]上是增加的；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m-2am+2，對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，利用賦值法，即可證出f（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)題意，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判定f（x）在[-1，1]上是增加的；
（3）利用單調(diào)性求出f（x）在[-1，1]上的最值f（x）max，再把f（x）＜m-2am+2恒成立轉(zhuǎn)化為m-2am+2＞1恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出m的取值范圍．

解答 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0．令y=-x，f（x）+f（-x）=0；
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)；------------（3分）
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
令-1≤x₁＜x₂≤1，則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；---------（6分）
（3）f（x）在[-1，1]上是增加的，f（x）max=f（1）=1，
要使f（x）＜m-2am+2對(duì)所有x∈[-1，1]恒成立，
只要m-2am+2＞1，即m-2am+1＞0；
令g（a）=m-2am+1=-2am+m+1，
要使g（a）＞0時(shí)a∈[-1，1]恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（1）＞0.\end{array}$，
即$\left\{\begin{array}{l}1+3m＞0\\ 1-m＞0\end{array}$，
解得-$\frac{1}{3}$＜m＜1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式恒成立的問(wèn)題，是綜合性問(wèn)題．