Question

4．已知點A（4，0），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，且圓心C在l上．
（1）若CO=CA，O為坐標(biāo)原點，求圓C的方程；
（2）若圓心C在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線方程．

Answer 1

分析 （1）由CO=CA，得到點C在線段OA的中垂線上，根據(jù)C在l上確定出C坐標(biāo)，再由已知半徑確定出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）聯(lián)立l與已知直線求出C坐標(biāo)，根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)切線方程為y=k（x-4），根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑求出k的值，即可確定出切線方程．

解答 解：（1）∵CO=CA，
∴點C在OA的中垂線x=2上，
又C在y=2x-4，
∴C（2，0），
∵圓C的半徑為1，
∴圓的方程為C：（x-2）²+y²=1；
（2）聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（3，2），
設(shè)切線為y=k（x-4），
依題意有$\frac{{|{k+2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，
此時切線方程為3x+4y-12=0，
當(dāng)切線斜率不存在時：x=4也適合，
則所求切線的方程為3x+4y-12=0或x=4．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的點斜式方程，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．