Question

2．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=CF=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，點M為線段EF中點，平面ACFE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）求點A到平面MBC的距離．

Answer 1

分析 （I）利用等腰梯形的性質解出AB，根據(jù)余弦定理得出AC⊥BC，由面面垂直的性質即可得出BC⊥平面ACFE，于是BC⊥AM；
（II）求出V_M-ABC，利用V_M-ABC=V_A-MBC即可得出點A到平面MBC的距離．

解答 解：（Ⅰ）證明：在等腰梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=CD+2BCcos∠ABC=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC，
∴平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE，∵直線AM?平面ACFE，
∴BC⊥AM．
（Ⅱ）連接MC，
由（Ⅰ）可知，$BC⊥AC，AC=\sqrt{3}$，又BC=1，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點M到平面ABC的距離等于CF=1，
∴${V_{三棱錐M-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CF=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
又BC⊥平面ACFE，∴BC⊥CM，
∴$MC=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，${S_{△MBC}}=\frac{1}{2}MC×BC=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{7}}}{2}×1=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
設點A平面MBC的距離為d，則${V_{三棱錐M-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△MBC}}•d=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{7}}}{4}×d=\frac{{\sqrt{7}}}{12}d$．
∴$\frac{{\sqrt{7}}}{12}d=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，∴$d=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
∴點A到平面MBC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了面面垂直的性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．