Question

【題目】【2017南通二模19】已知函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求函數(shù)在x1處的切線方程；

（2）若存在，使得成立，其中為常數(shù)，

求證：；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）因?yàn)?/span>，所以，故．

所以函數(shù)在x1處的切線方程為，

即．

（2）由已知等式得．

記，則．

假設(shè)．

①若，則，所以在上為單調(diào)增函數(shù)．

又，所以，與矛盾．

②若，記，則．

令，解得．

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)減函數(shù)．

所以，所以，

所以在上為單調(diào)增函數(shù)．

又，所以，與矛盾．

綜合①②，假設(shè)不成立，所以．9分

（3）由得．

記，，

則．

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以，

所以在上為單調(diào)增函數(shù)，所以，

故原不等式恒成立．1

②法一：

當(dāng)時(shí)，由（2）知，，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)減函數(shù)，

所以，不合題意．

法二：

當(dāng)時(shí)，一方面．

另一方面，，．

所以，使，又在上為單調(diào)減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，，故在上為單調(diào)減函數(shù)，

所以，不合題意．

綜上，．1