Question

5．已知復數(shù)z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$
（1）若復數(shù)z₁與z在復平面上所對應的點關(guān)于虛軸對稱，求z₁
（2）若復數(shù)z₂=a+bi（a，b∈R）滿足z²+az+b=1-i，求z₂的共軛復數(shù)．

Answer 1

分析 首先進行復數(shù)的化簡，然后根據(jù)要求解答．

解答 解：由已知復數(shù)z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=$\frac{-2i+3+3i}{2-i}$=$\frac{3+i}{2-i}$=$\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{5+5i}{5}$=1+i；
所以（1）若復數(shù)z₁與z在復平面上所對應的點關(guān)于虛軸對稱，則它們實部互為相反數(shù)，虛部相等，所以z₁=-1+i；
（2）若復數(shù)z₂=a+bi（a，b∈R）滿足z²+ax+b=1-i，
所以（1+i）²+a（1+i）+b=1-i，
整理得a+b+（2+a）i=1-i，
所以a+b=1并且2+a=-1，
解得a=-3，b=4，
所以復數(shù)z₂=-3+4i，所以z₂的共軛復數(shù)-3-4i．

點評 本題考查了復數(shù)的混合運算以及復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)；關(guān)鍵是正確化簡復數(shù)z．