Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}（x-2a）+\frac{lnx}{x}$（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）曲線y=xf（x） 是否存在經(jīng)過原點的切線，若存在，求出該切線方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可令h（x）=x²+2-2lnx，再求導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）不妨設(shè)曲線y=x•f（x）在點（m，mf（m））（m＞0）處的切線經(jīng)過原點，求出y=xf（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求得切線方程，代入原點，可得$\frac{1}{2}$m²-lnm+1=0，（*），記$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx+1（x＞0）$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到方程解的情況．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{2}+\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{{{x^2}+2-2lnx}}{{2{x^2}}}$，
令h（x）=x²+2-2lnx，則$h'（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{{{x^{\;}}}}$，
故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
h（x）_min=h（1）=3＞0，
即當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）不妨設(shè)曲線y=x•f（x）在點（m，mf（m））（m＞0）處的切線經(jīng)過原點，
則有y=xf（x），y′=[xf（x）]′，即y′=x-a+$\frac{1}{x}$，
可得切線的斜率為k=m-a+$\frac{1}{m}$，
切線的方程為y-（$\frac{1}{2}$m²-am+lnm）=（m-a+$\frac{1}{m}$）（x-m），
代入（0，0），化為$\frac{1}{2}$m²-lnm+1=0，（*）
記$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx+1（x＞0）$，則$g'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}$，
令g'（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＜0，當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，
∴$g（1）=\frac{3}{2}$是g（x）的最小值，即當(dāng)x＞0時，$\frac{1}{2}{x^2}-lnx+1≥\frac{3}{2}$．
由此說明方程（*）無解，
∴曲線y=f（x）沒有經(jīng)過原點的切線．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和切線的方程，考查存在性問題的解法，注意運用構(gòu)造法，以及方程思想，考查運算能力，屬于中檔題．