Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=3時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x+2alnx，且g（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求導(dǎo)，由g（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，g′（x）=0，方程在（0，+∞）內(nèi)有兩個不相等的實根，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=2x-$\frac{1}{x}$-3lnx，（x＞0），
求導(dǎo)f′（x）=2+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$或x=1，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1時，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，1）；
文（2）：由已知得g（x）=x-$\frac{1}{x}$+alnx，（0，+∞），
g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x²+ax+1=0，
g（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-a＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，解得：a＜-2，
a的取值范圍（-∞，-2）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，考查計算能力，屬于中檔題．