Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先把已知等式轉(zhuǎn)化為a≤x+2lnx+

3

x

，設(shè)h（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，只要a小于或等于最小值即可．

解答： 解：2xlnx≥-x²+ax-3對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
等價(jià)于a≤x+2lnx+

3

x

，
令h（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），
h′（x）=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)減，
當(dāng)x=1時(shí)，h′（x）=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和靈活運(yùn)用．