Question

8．證明：設S_n=$\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}$+…+$\sqrt{n（{n+1}）}$（n∈N₊）時，不等式$\frac{{n（{n+1}）}}{2}＜{S_n}＜\frac{{n（{n+3}）}}{2}$．

Answer 1

分析 根據不等式n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，利用等差數列的求和公式得出結論．

解答 證明：設a_n=n，b_n=n+1，{a_n}的前n項和為A_n，{b_n}的前n項和為B_n，
則A_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，B_n=2+3+4+…+（n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$．
∵n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，
∴A_n＜S_n＜B_n．
即$\frac{n（n+1）}{2}$＜S_n＜$\frac{n（n+3）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的前n項和公式，屬于基礎題．