8．證明：設(shè)Sn=$\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}$+…+$\sqrt{n（{n+1}）}$（n∈N+）時(shí)，不等式$\frac{{n（{n+1}）}}{2}＜{S_n}＜\frac{{n（{n+3}）}}{2}$．

分析 根據(jù)不等式n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，利用等差數(shù)列的求和公式得出結(jié)論．

解答 證明：設(shè)an=n，bn=n+1，{an}的前n項(xiàng)和為An，{bn}的前n項(xiàng)和為Bn，
則An=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，Bn=2+3+4+…+（n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$．
∵n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，
∴An＜Sn＜Bn．
即$\frac{n（n+1）}{2}$＜Sn＜$\frac{n（n+3）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

18．函數(shù)f（x）=x2+2x+a有零點(diǎn)的充要條件是a≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，sin2B=2sinAsinC．
（1）若a=b，求cosB；
（2）設(shè)B=90°，且△ABC的面積為1，求a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=$\sqrt{3}$，an+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N*），則S2017=（　�。�
A．-$\sqrt{3}$B．0C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$D．$\sqrt{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=cos2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx（ω＞0）的周期為π．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，且a=4，b+c=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}-4x+5}}{x-2}$（x＞2），當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取到最小值為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．若a，b在區(qū)間（0，1）內(nèi)，則橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與直線l：x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的概率為1-$\frac{π}{4}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

17．原點(diǎn)到直線l：x-2y+3=0的距離是（　�。�
A．$\frac{\sqrt{3}}{5}$B．$\sqrt{5}$C．$\frac{\sqrt{5}}{5}$D．$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

18．參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）化成普通方程為（　�。�
A．x2+（y+1）2=1B．x2+（y-1）2=1C．（x-1）2+（y-1）2=1D．x2+y2=1

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