Question

19．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，sin²B=2sinAsinC．
（1）若a=b，求cosB；
（2）設(shè)B=90°，且△ABC的面積為1，求a．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，sin²B=2sinAsinC，轉(zhuǎn)化成b²=2ac，由a=b，代入即可求得a=b=2c，根據(jù)余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，代入即可求得cosB的值；
（2）由B=90°，根據(jù)勾股定理可知b²=a²+c²，由（1）可得b²=2ac，代入可求得a=c，由三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$ac=1，求a．

解答 解：（1）在△ABC中由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
∵sin²B=2sinAsinC，
∴b²=2ac，
∵a=b，
∴a=b=2c，
由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{4}$，
cosB=$\frac{1}{4}$，
（2）B=90°，b²=a²+c²，
∵b²=2ac，
∴2ac=a²+c²，
∴a=c，
∵S=$\frac{1}{2}$ac=1，
∴a=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查勾股定理及三角形面積公式，屬于中檔題．