Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N^*），則S₂₀₁₇=（　�。�

• A． -$\sqrt{3}$
• B． 0
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)遞推公式分別求得a₂，a₃，a₄的值，從而可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，且每三項和為0，a₂₀₁₇=a_672×3+1=a₁=$\sqrt{3}$，可知S₂₀₁₇=a₁=$\sqrt{3}$．

解答 解：當n=1時，a₂=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}+1}$=0，
當n=2，a₃=$\frac{0-\sqrt{3}}{\sqrt{3}•0+1}$=-$\sqrt{3}$，
當n=3，a₄=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}•\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$，
…
∴a_n+3=a_n，
數(shù)列各項的輪流重復出現(xiàn)，每隔三項一次循序，且和為0，
a₂₀₁₇=a_672×3+1=a₁=$\sqrt{3}$，
S₂₀₁₇=a₁=$\sqrt{3}$，
故答案選：D．

點評 本題考查數(shù)列遞推公式關系式的應用，考查數(shù)列的周期性，屬于基礎題．