Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-a²|（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值為3，求a的值：
（2）在（1）的條件下，若直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象圍成一個(gè)三角形，求m的范圍，并求圍成的三角形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論以去掉絕對(duì)值號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得f（a²）=a²+1=3，從而求得；
（2）化簡(jiǎn)f（x）=|x+1|+2|x-2|，從而作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解．

解答 解：（1）當(dāng)x≥a²時(shí)，
f（x）=x+1+2x-2a²=3x-2a²+1，
當(dāng)-1＜x＜a²時(shí)，
f（x）=x+1+2a²-2x=-x+2a²+1，
當(dāng)x≤-1時(shí)，
f（x）=-x-1+2a²-2x=-3x+2a²-1，
故f（x）在（∞，a²）上是減函數(shù)，在（a²，+∞）上是增函數(shù)；
故f（a²）=a²+1=3，
故a²=2，
故a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$；
（2）由（1）知，f（x）=|x+1|+2|x-2|，
由題意作圖如下，
，
結(jié)合圖象可知，A（3，6），B（-1，6），C（2，3）；
故3＜m≤6，
且m=6時(shí)面積最大為$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．