Question

已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分別是AB，AE上的動(dòng)點(diǎn)，且CD∥BE，將△ACD沿CD折起到位置A₁CD，使平面A₁CD與平面BCD所成的二面角A₁-CD-B的大小為θ，設(shè)

CD

BE

=λ，λ∈（0，1）．
（1）若θ=

π

2

且A₁E與平面BCD所成的角的正切值為

2

2

，求二面角A₁-DE-B的大小的正切值；
（2）已知λ=

1

2

，G為A₁E的中點(diǎn)，若BG⊥A₁D，求cosθ的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：計(jì)算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意可證A₁C⊥平面BCD，從而∠A₁EC為直線A₁E與平面BCD所成的角，設(shè)A₁C=x，由勾股定理可求得x=2，作出二面角A₁-DE-B的平面角∠A₁OC，在直角三角形中求正切值即可，
（2）由題意可知，A₁B=BE=2，A₁C=BC=2，故△A₁CB是等邊三角形，從而求cosθ的取值．

解答： 解：（1）由題意，∠A₁CB=θ=

π

2

，∴A₁C⊥CB，
∵A₁C⊥CD，CB∩CD=C，
∴A₁C⊥平面BCD，
∴∠A₁EC為直線A₁E與平面BCD所成的角，
設(shè)A₁C=x，
∵A₁E與平面BCD所成的角的正切值為

2

2

，∴CE=

2

x，
∴（4-x）²+4=（

2

x）²，∴x=2，即C為AB的中點(diǎn)，
在圖1中，設(shè)C在AD上的射影為O，則CO=

2 5

5

，
∠A₁OC為二面角A₁-DE-B的平面角，
∴二面角A₁-DE-B的大小的正切值為tan∠A₁OC=

A1C

OC

=

5

；
（2）∵

CD

BE

=λ=

1

2

，∴C為AB的中點(diǎn)，
又∵G為A₁E的中點(diǎn)，BG⊥A₁D，
∴A₁B=BE=2，
又∵A₁C=BC=2，
故△A₁CB是等邊三角形，
故cosθ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象力與作圖能力，同時(shí)考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于難題．