Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=0，a_n+1=a_n+2

an+1

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an+1

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)an=(

bn

3n

)2-1，求正項(xiàng)數(shù)列{b_n}的前n和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（Ⅰ）利用遞推公式得到數(shù)列{

an+1

}的第n+1與第n項(xiàng)的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列定義得到數(shù)列{

an+1

}是等差數(shù)列；（Ⅱ）利用已知數(shù)列{

an+1

}的通項(xiàng)公式，求出b_n的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法，求出正項(xiàng)數(shù)列{b_n}的前n和S_n，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2

an+1

+1，n∈N^*，
∴an+1+1=(

an+1

+1)2．
則：

an+1+1

-

an+1

=1，
所以數(shù)列{a_n+1}是以

a1+1

=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an+1

=n，
∴an=n2-1．
∵an=(

bn

3n

)2-1，
∴bn=n•3n．
∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，…①
3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，…②
由①-②得：S_n=

3

4

+

(2n-1)3n+1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的遞推公式、錯(cuò)位相減法求和，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．