Question

已知離心率e=

3

2

的橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（

3

2

，1），O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若向量

m

=（ax₁，by₁）與

n

=（ax₂，by₂）垂直．試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率e=

3

2

，橢圓經(jīng)過點P（

3

2

，1），建立方程組，求得幾何量，從而可得橢圓的方程．
（Ⅱ）分類討論：①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用

m

•

n

=0，A在橢圓上，可求△AOB的面積；②當直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合

m

•

n

=0可得△AOB的面積是定值．

解答： 解：（1）∵離心率e=

3

2

的橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（

3

2

，1），
∴

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a=2，c=1，
∴橢圓E的方程為

y2

4

+x2=1．
（Ⅱ）（Ⅲ）①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵

m

•

n

=0=0，∴4x12-y12=0，
∵A在橢圓上，∴

4x12

4

+x12=1，∴|x1|=

2

2

，|y₁|=

2

，
∴S=

1

2

|x1||y1-y2|=1．
②當直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+t，
代入橢圓方程，得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x₁+x₂=

-2kt

k2+4

，x₁x₂=

t2-4

k2+4

，
∵

m

•

n

=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0
∴2t²-k²=4
∴S=

1

2

×

|t|

1+k2

|AB|=

|t| 4k2-4t2+16

k2+4

=

4t2

2|t|

=1．
綜上，△AOB的面積是定值1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理進行求解．