已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與一個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且橢圓E過(guò)點(diǎn)M(2,
2
),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且
OA
OB
?若存在,寫(xiě)出該圓的方程,并求該切線在y軸上截距的取值范圍及|AB|的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由已知得
4
a2
+
2
b2
=1
,a2=2b2,由此能求出橢圓E的方程.
(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得廖圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且
OA
OB
,該橢圓的切線方程為y=kx+m,解方程組
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
,得(1+2k2)m2+4km+2m2-8=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直,結(jié)合已知條件推導(dǎo)出存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=
8
3
,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且
OA
OB
,|AB|∈[
4
6
3
,2
3
],m
2
6
3
或m≤-
2
6
3
,且當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),y軸上的截距不存在.
解答: 解:(1)∵橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
過(guò)M(2,
2
),
4
a2
+
2
b2
=1
,
又E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與一個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),
∴a2=2b2,解得
a2=8
b2=4
,
∴橢圓E的方程為:
x2
8
+
y2
4
=1

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,
使得廖圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
OA
OB
,該橢圓的切線方程為y=kx+m,
解方程組
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
,得(1+2k2)m2+4km+2m2-8=0,
則△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,
整理,得8k2-m2+4>0,
x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2
,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
k2(2m2-8)
1+2k2
+m2
=
m2-8k2
1+2k2
,
要使
OA
OB
,需使x1x2+y1y2=0,
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0
,
∴3m2-8k2-8=0,
k2=
3m2-8
8
≥0
,又8k2-m2+4>0,
m2>2
3m2≥8
,∴m2
8
3
,即m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3

∵直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
∴圓的半徑為r=
|m|
1+k2
,
r2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
,∴r=
2
6
3
,
所求圓的方程為x2+y2=
8
3

|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
-4km
1+2k2
)2-4•
2m2-8
1+2k2

=
4
6
3
(4k2+1)(k2+1)
(1+2k2)

=
4
6
3
4k4+4k2+1+k2
4k4+4k2+1

=
4
6
3
1+
k2
4k4+4k2+1
∈(
4
6
3
,2
3
],
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
,
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±
2
6
3

與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn)為(
2
6
3
,±
2
6
3
)或(-
2
6
3
,±
2
6
3
)滿足
OA
OB
,
|AB|=
4
6
3
,
綜上所述,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=
8
3
,
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
OA
OB
,|AB|∈[
4
6
3
,2
3
],m
2
6
3
或m≤-
2
6
3
,
且當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),y軸上的截距不存在.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法,考查該切線在y軸上截距的取值范圍及|AB|的取值范圍的求法,解題時(shí)要注意橢圓弦長(zhǎng)公式的靈活運(yùn)用.
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[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),若數(shù)列an=3[
2014
4n
]的前n項(xiàng)和為Sn,則S2014=( 。
A、2001B、2002
C、2013D、2014

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已知離心率e=
3
2
的橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(
3
2
,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若向量
m
=(ax1,by1)與
n
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如圖,正方形ABCD與正方形BCEF在同一平面內(nèi),則sin∠CAE=
 

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-
3
2
n2+
205
2
n,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn

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已知向量
a
=(cosx,-
1
2
),
b
=(
3
sinx,cos2x),x∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求f(x)的最小正周期和最值;
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若x>0,求(2x
1
4
+3
3
2
)(2x
1
4
-3
3
2
)-4x-
1
4
x
3
4
-x
1
4
).

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計(jì)算:0.0081
1
4
+(4-
3
4
2+(
8
)-
4
3
-16-0.75

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