Question

17．一錐體的三視圖如圖所示，則該棱錐的最長棱的棱長為（　　）

• A． $\sqrt{33}$
• B． $\sqrt{17}$
• C． $\sqrt{41}$
• D． $\sqrt{42}$

Answer 1

分析 幾何體是四棱錐，且四棱錐的一個側面與底面垂直，結合直觀圖求相關幾何量的數據，可得答案．

解答 解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一個側面與底面垂直，
底面為邊長為4的正方形如圖：
其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，
PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}+{4}^{2}}$
PE⊥底面ABCD，連接CE，BE，
在直角三角形PBE中，
PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$；
在直角三角形PCE中，
可得PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{33}$；
又PA=$\sqrt{P{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5；
PD=$\sqrt{P{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
幾何體最長棱的棱長為$\sqrt{41}$．
故選：C．

點評 本題考查了由三視圖求幾何體的最長棱長問題，根據三視圖判斷幾何體的結構特征是解答本題的關鍵．