Question

12．如圖，在三棱錐P-AMC中，AC=AM=PM，AM⊥AC，PM⊥平面AMC，B，D分別為CM，AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）在PD上確定一點(diǎn)N，使得直線PM∥平面NAB，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面NAB和平面PAC所成銳二面角α的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點(diǎn)E，連接BE，推導(dǎo)出BE∥PM，從而直線PM∥平面ABE，連接AE，交PD于N點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)．從而得到N為PD靠近D的一個(gè)三等分點(diǎn)．
（Ⅱ）在平面AMC內(nèi)作My⊥MC于M，以M為原點(diǎn)，MC，My，MP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面NAB和平面PAC所成銳二面角α的大�。�

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）N為PD靠近D的三等分點(diǎn)．理由如下：
取PC的中點(diǎn)E，連接BE，
由于B，E分別為CM，PC的中點(diǎn)，所以BE∥PM，
又BE?平面ABE，PM?平面ABE，
所以直線PM∥平面ABE，
連接AE，交PD于N點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)．
由于AE，PD分別是△PAC的邊PC，AC上的中線，
所以AE和PD的交點(diǎn)N為△PAC的重心，
故N為PD靠近D的一個(gè)三等分點(diǎn)．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)锳C=AM，AM⊥AC，所以∠AMC=45°，
在平面AMC內(nèi)作My⊥MC于M，知MC，My，MP兩兩垂直，
以M為原點(diǎn)，MC，My，MP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC=AM=PM=2，則MC=$2\sqrt{2}$，
所以C（$2\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2），A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
即$\overrightarrow{PC}=（2\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$，
因?yàn)镻M⊥平面AMC，由（Ⅰ）知BE∥PM，
所以BE⊥平面AMC，則CM⊥BE．
又AC=AM，B為CM的中點(diǎn)，則CM⊥AB，
所以CM⊥平面NAB，
所以可取平面NAB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x-2z=0\\ x-y=0\end{array}\right.$，取x=1，則y=1，z=$\sqrt{2}$，
得平面PAC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
由cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，得＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$，
所以平面NAB和平面PAC所成銳二面角α的大小為$\frac{π}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查使得線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．