Question

已知圓C在y軸上截得的弦為AB，A的坐標(biāo)為（0，5），B的坐標(biāo)為（0，3），且圓心在直線x=2上，若點(diǎn)Q（x，y）是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，3）．
（1）求圓心C的坐標(biāo)并寫出圓C的方程；
（2）求P與Q的距離的最小值；
（3）當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí)，求直線PQ的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）利用條件直接求圓心C的坐標(biāo)求出半徑即可寫出圓C的方程；
（2）求出圓心到P的距離減去圓的半徑就是P與Q的距離的最小值；
（3）設(shè)出直線PQ的方程，利用直線PQ和圓相切，建立方程，即可求得結(jié)論；

解答： 解：（1）圓C在y軸上截得的弦為AB，A的坐標(biāo)為（0，5），B的坐標(biāo)為（0，3），且圓心在直線x=2上，
所以圓心C的坐標(biāo)（2，4），圓的半徑為：

(2-0)2+(4-3)2

=

5

，
所以圓C的方程：（x-2）²+（y-4）²=5；
（2）由題意可知|PC|=

(2+1)2+(4-3)2

=

10

，所以P與Q的距離的最小值為

10

-

5

；
（3）設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+k+3，故圓心到直線l的距離d=

|3k-1|

1+k2

=

5

．
解得k=2或k=-

1

2

．
所以，直線l的方程為2x-y+5=0或x+2y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．