Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，若對任意的x₁，x₂∈[-1，2]，恒有af（1）≥|f（x₁）-f（x₂）|成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e²，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得在區(qū)間[-1，2]上的單調(diào)性，可得最值，即有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=e，由恒成立思想，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則f（0）取得極小值，且為最小值0，
f（-1）-f（2）=$\frac{1}{{e}^{-1}}$-$\frac{4}{{e}^{2}}$=e-$\frac{4}{{e}^{2}}$＞0，
則f（x）的最大值為f（-1）=e，
即有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=e，
對任意的x₁，x₂∈[-1，2]，恒有af（1）≥|f（x₁）-f（x₂）|成立，
即為a•$\frac{1}{e}$≥e，
解得a≥e²．
則a的取值范圍是[e²，+∞）．
故答案為：[e²，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．