Question

17．將函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則φ的最小值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），從而得出平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）．由平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到$\frac{π}{3}$-φ=kπ（k∈Z），再取k=0得到φ的最小正值為$\frac{π}{3}$．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
將函數(shù)的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=2sin[（x-φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）的圖象．
∵平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴$\frac{π}{3}$-φ=kπ（k∈Z），可得φ=$\frac{π}{3}$-kπ（k∈Z），
取k=0，得到φ的最小正值為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，已知函數(shù)圖象右移φ個(gè)單位個(gè)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求平移的最小長(zhǎng)度．著重考查了三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)圖象平移公式等知識(shí)，屬于中檔題．