4.設函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),記|f(x)|的最大值為A.
(1)當a=2時,求A;
(2)當a>0時,求A.

分析 (1)根據(jù)二倍角公式和二次函數(shù)的值即可求出
(2)a的取值,利用分類討論的思想,結(jié)合換元法,以及一元二次函數(shù)的最值的性質(zhì)進行求解.

解答 解:(1)當a=2時,f(x)=2cos2x+cosx+1=4cos2x+cosx+1=4(cosx+$\frac{1}{8}$)2-$\frac{17}{16}$,
∵cosx∈[-1,1],
∴f(x)∈[-$\frac{17}{16}$,4],
∴A=4.
(2)f(x)=2acos2x-a+(a-1)cosx+a-1=2acos2x+(a-1)cosx-1,
令cosx=t∈[-1,1],
則f(t)=2at2+(a-1)t-1=2a(t-$\frac{1-a}{4a}$)2-1-$\frac{(1-a)^{2}}{8a}$
當$\frac{1-a}{4a}$≥1即0<a≤$\frac{1}{5}$時,f(-1)=a,f(1)=3a-2,
∵|a|<|3a-2|,
∴A=2-3a,
當0≤$\frac{1-a}{4a}$<1,即$\frac{1}{5}$<a≤1時,
∵|f($\frac{1-a}{4a}$)|=1+$\frac{(1-a)^{2}}{8a}$>|f(-1)|=a,
∴A=1+$\frac{(1-a)^{2}}{8a}$
當-1<$\frac{1-a}{4a}$<0,即a>1時,此時|f($\frac{1-a}{4a}$)|=1+$\frac{(1-a)^{2}}{8a}$,|f(1)|=3a-2,
∵3a-2-1-$\frac{(1-a)^{2}}{8a}$=$\frac{(a-1)(25a-1)}{8a}$>0
∴A=3a-2,
綜上所述A=$\left\{\begin{array}{l}{2-3a,0<a≤\frac{1}{5}}\\{\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a},\frac{1}{5}<a<1}\\{3a-2,a≥1}\end{array}\right.$

點評 本題考查了三角形函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和最值,轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,屬于中檔題.

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