Question

16．在遞增的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₂+a₃=10，a₁•a₄=16
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）令c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+a₃=10，a₁•a₄=16，聯(lián)立解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+3d=10}\\{{{a}_{1}}^{2}+3{a}_{1}d=16}\end{array}\right.$，求得d和a₁，求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由題意可知n≥2時，a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，a_n-1=$\frac{_{1}}{3+1}$+$\frac{_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，兩式相減2=$\frac{_{n}}{{3}^{n}+1}$，求得bn的通項公式，當n=1時，驗證是否滿足；
（3）由（1），（2）代入求得數(shù)列{c_n}的通項公式，利用“錯位相減法”及等差數(shù)列前n項和公式即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是遞增的等差數(shù)列，d＞0，
由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{a}_{1}+2d=10}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+3d）=16}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+3d=10}\\{{{a}_{1}}^{2}+3{a}_{1}d=16}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n；
（2）當n≥2時，a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，
a_n-1=$\frac{_{1}}{3+1}$+$\frac{_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
兩式相減得：2=$\frac{_{n}}{{3}^{n}+1}$，
∴${b_n}=2（{3^n}+1）$，
當n=1時，$\frac{_{1}}{3+1}$=a₁=2，b₁=8，成立，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式數(shù)列{b_n}的通項公式${b_n}=2（{3^n}+1）$；
    （3）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{3^n}+1）=n•{3^n}+n$，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+3+…+n），
令${H_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n•{3^n}$
則$3{H_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n•{3^{n+1}}$
兩式相減得：$-2{H_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n×{3^{n+1}}=\frac{{3（{3^n}-1）}}{3-1}-n×{3^{n+1}}$，
∴${H_n}=\frac{{（2n-1）×{3^{n+1}}+3}}{4}$
∴${T_n}=\frac{{（2n-1）×{3^{n+1}}}}{4}+\frac{n（n+1）}{2}+\frac{3}{4}$．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查“錯位相減法”求數(shù)列前n項和，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．