Question

如圖，已知拋物線x²=4y上兩定點(diǎn)A，B分別在對(duì)稱軸左、右兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|=2，|BF|=5．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的AOB一段上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積S最大，并求這個(gè)最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義和條件求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）由兩點(diǎn)間距離公式求出|AB|，再求出直線AB的方程，欲求△PAB的面積最大值可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式建立起點(diǎn)P到直線AB的距離的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的知識(shí)求出最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題意得，拋物線的方程為：x²=4y，
則焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
由拋物線的定義得，|AF|=y₁+1，且|BF|=y₂+1
因?yàn)閨AF|=2，|BF|=5，
所以y₁=1，y₂=4，代入x²=4y求得x₁=±2，x₂=±4，
又A，B分別在對(duì)稱軸左、右兩側(cè)，所以x₁=-2，x₂=4，
所以A（-2，1），B（4，4），
（2）由（1）得，A（-2，1），B（4，4），
則|AB|=

(4+2)2+(4-1)2

=3

5

，
直線AB的方程為y-1=

1

2

（x+2），即x-2y+4=0，
設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），且-2≤x₀≤4，1≤y₀≤4．
則點(diǎn)P到直線AB的距離d=

|x0-2y0+4|

1+4

=

|x0-2× x02 4 +4|

5

=

| 1 2 (x0-1)2- 9 2 |

5

，
所以當(dāng)x₀=1時(shí)，d取最大值

9 2

5

=

9 5

10

，
所以△PAB的面積最大值為Smax=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程、定義，兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線方程，二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．