Question

14．如果f（x）的定義域?yàn)镽，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”，給出下列命題：
①函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”；
②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，且f（1）=1，則f（2015）=1；
③若不恒為零的函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
④若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調(diào)遞減，則y=f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增；
其中正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

Answer 1

分析 由條件：f（x+a）=f（-x）成立可得：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，是軸對稱圖形，
①根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸即可判斷；
②由“P（2）性質(zhì)”得：f（x+2）=f（-x），由奇函數(shù)的性質(zhì)推出函數(shù)的周期，由周期性求出f（2015）的值；
③由“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”列出等式，即可求出函數(shù)的周期；
④由“P（4）性質(zhì)”得f（x+4）=f（-x），則f（x）關(guān)于x=2對稱，即f（2-x）=f（2+x），由偶函數(shù)的性質(zhì)和圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）成中心對稱，即可得到答案．

解答 解：若對于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，
則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，是軸對稱圖形，
①函數(shù)y=sinx的對稱軸是x=$\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，則具有“P（a）性質(zhì)”，①正確；
②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，則f（x+2）=f（-x）=-f（x），
所以f（x+4）=f（x），函數(shù)f（x）的周期是4，
由f（1）=1得，f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1）=-1，②不正確；
③∵恒為零的函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，且周期為3，③正確；
④∵函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，則f（x+4）=f（-x），
∴f（x）關(guān)于x=2對稱，即f（2-x）=f（2+x），
∵圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對稱，
∴f（2-x）=-f（x），即f（2+x）=-f（-x），
則f（x）=f（-x），即f（x）為偶函數(shù)，
∵圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴圖象也關(guān)于點(diǎn)（-1，0）成中心對稱，且在（-2，-1）上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱得出：在（1，2）上單調(diào)遞增，④正確，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考是新概念的題目，考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性的綜合應(yīng)用，主要運(yùn)用抽象函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行推理判斷，難度較大，屬于中檔題．