Question

14．如果f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質”，給出下列命題：
①函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質”；
②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質”，且f（1）=1，則f（2015）=1；
③若不恒為零的函數(shù)y=f（x）同時具有“P（0）性質”和“P（3）性質”，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
④若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質”，圖象關于點（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調遞減，則y=f（x）在（-2，-1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增；
其中正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析 由條件：f（x+a）=f（-x）成立可得：函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，是軸對稱圖形，
①根據正弦函數(shù)的對稱軸即可判斷；
②由“P（2）性質”得：f（x+2）=f（-x），由奇函數(shù)的性質推出函數(shù)的周期，由周期性求出f（2015）的值；
③由“P（0）性質”和“P（3）性質”列出等式，即可求出函數(shù)的周期；
④由“P（4）性質”得f（x+4）=f（-x），則f（x）關于x=2對稱，即f（2-x）=f（2+x），由偶函數(shù)的性質和圖象關于點（-1，0）成中心對稱，即可得到答案．

解答 解：若對于定義域內的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，
則函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，是軸對稱圖形，
①函數(shù)y=sinx的對稱軸是x=$\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，則具有“P（a）性質”，①正確；
②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質”，則f（x+2）=f（-x）=-f（x），
所以f（x+4）=f（x），函數(shù)f（x）的周期是4，
由f（1）=1得，f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1）=-1，②不正確；
③∵恒為零的函數(shù)y=f（x）同時具有“P（0）性質”和“P（3）性質”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，且周期為3，③正確；
④∵函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質”，則f（x+4）=f（-x），
∴f（x）關于x=2對稱，即f（2-x）=f（2+x），
∵圖象關于點（1，0）成中心對稱，
∴f（2-x）=-f（x），即f（2+x）=-f（-x），
則f（x）=f（-x），即f（x）為偶函數(shù)，
∵圖象關于點（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調遞減，
∴圖象也關于點（-1，0）成中心對稱，且在（-2，-1）上單調遞減，
根據偶函數(shù)的對稱得出：在（1，2）上單調遞增，④正確，
故答案為：①③④．

點評 本題考是新概念的題目，考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調性、對稱性的綜合應用，主要運用抽象函數(shù)性質進行推理判斷，難度較大，屬于中檔題．