Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證：

（1）BE⊥CF;

（2）AP=AB.

Answer 1

【答案】（1）見試題解析；（2）見試題解析

【解析】

(1) 如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設AB=2,則 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出和的坐標，再計算得=0即證

BE⊥CF.(2) 設P(x,y),再根據已知求出P，再求=4=，即證明AP=AB.

如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設AB=2,

則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,

∴,即BE⊥CF.

(2)設P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).

∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.

同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,

解得x=,∴y=,即P.

∴=4=,

∴||=||,即AP=AB.