Question

10．在△ABC中，A、B、C分別是三邊a，b，c的對(duì)角，設(shè)$\overrightarrow{m}$=（2b-a，-cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大�。�
（2）若a+b=2$\sqrt{2}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的坐標(biāo)條件、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)內(nèi)角的范圍求出角C；
（2）由（1）和三角形的面積公式求出ab的值，由余弦定理和整體代換求出c的值．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{m}$=（2b-a，-cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
所以$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，則（2b-a）cosC-c•cosA=0，
由正弦定理得，（2sinB-sinA）cosC-sinCcosA=0，
2sinBcosC-sinAcosC-sinCcosA=0，
2sinBcosC-sin（A+C）=0，
因?yàn)锳+B+C=π，所以2sinBcosC-sinB=0，
又sinB≠0，則cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）得，C=$\frac{π}{3}$，
由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$得，$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則ab=1，
又a+b=2$\sqrt{2}$，由余弦定理得，
c²=a²+b²-2abcosC=${（a+b）}^{2}-2ab-2ab×\frac{1}{2}$=8-3=5，
則c=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和的正弦公式，以及向量垂直的坐標(biāo)條件、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等，考查公式較多，但難度不大，注意內(nèi)角的范圍．