Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{g（x）-1}{g（x）+1}$，且f（x）、g（x）的定義域都是R，g（x）＞0，g（1）=2，g（x）是增函數(shù)，g（m）g（n）=g（m+n） （m，n∈R）．求證：f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 先將原函數(shù)變成$f（x）=1-\frac{2}{g（x）+1}$，可考慮用單調(diào)性定義證明，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通過作差，根據(jù)g（x）＞0，及g（x）為增函數(shù)，即可證明f（x₁）＜f（x₂），這樣便得出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．

解答 證明：f（x）=$\frac{g（x）-1}{g（x）+1}$=$\frac{g（x）+1-2}{g（x）+1}=1-\frac{2}{g（x）+1}$；
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{g（{x}_{2}）+1}-\frac{2}{g（{x}_{1}）+1}=\frac{2[g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]}{[g（{x}_{1}）+1][g（{x}_{2}）+1]}$；
∵g（x）＞0；
∴[g（x₁）+1][g（x₂）+1]＞0；
g（x）是增函數(shù)；
g（x₁）＜g（x₂）；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上為增函數(shù)．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)在一區(qū)間上為增函數(shù)的方法及過程，作差的方法比較兩個函數(shù)值的大小，增函數(shù)定義的運(yùn)用，分離常數(shù)法的運(yùn)用．