Question

5．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=-1+\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），則直線l與曲線C截得的弦長為$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 本題可以將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，再將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，然后利用點線距離公式求出弦心距的長，根據(jù)勾股定理，求出弦長，即得本題結(jié)論．

解答 解：∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=-1+\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C的方程為：（x-2）²+（y+1）²=10，
∴圓心C（2，-1），半徑r=$\sqrt{10}$．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的方程為：x-2y+1=0．
點C（2，-1）到直線l：x-2y+1=0的距離為：
d=$\frac{|2-2×（-1）+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
由勾股定理得到弦長為：
l=$2\sqrt{{r}^{2}-7sn2o2s^{2}}$=2$\sqrt{10-5}$=$2\sqrt{5}$．
故答案為：$2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的消參法，還考查了用弦心距求弦長的知識，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．