Question

13．在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a²-$\sqrt{3}$ab+b²=1，c=1，則$\sqrt{3}$a-b的取值范圍為$（1，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 由a²-$\sqrt{3}$ab+b²=1，c=1，可得a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，利用余弦定理可得：$cosC=\frac{\sqrt{3}}{2}$.$C=\frac{π}{6}$．由正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，于是$\sqrt{3}$a-b=2$\sqrt{3}$sinA-2sinB=2$sin（A-\frac{π}{6}）$．由于$A+B=\frac{5π}{6}$，又$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\\{0＜A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，可得$\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{3}$，可得2$sin（A-\frac{π}{6}）$，即可得出．

解答 解：由a²-$\sqrt{3}$ab+b²=1，c=1，可得a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
由余弦定理可得：2abcosC=$\sqrt{3}$ab，
∴$cosC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{6}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，
∴$\sqrt{3}$a-b=2$\sqrt{3}$sinA-2sinB=2$\sqrt{3}$sinA-2$sin（\frac{5π}{6}-A）$=2$\sqrt{3}$sinA-2$sin（\frac{π}{6}+A）$=$2\sqrt{3}sinA$-$2（\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA）$
=$\sqrt{3}sinA$-cosA=2$sin（A-\frac{π}{6}）$．
∵$A+B=\frac{5π}{6}$，∴$B=\frac{5π}{6}-A$，
又$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\\{0＜A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，可得$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{1}{2}＜sin（A-\frac{π}{6}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2$sin（A-\frac{π}{6}）$∈$（1，\sqrt{3}）$．
故答案為：$（1，\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應用、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、銳角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．