Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ADC=60°，PC⊥底面AC，PC=1，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面DBE⊥平面ABCD；
（2）求點(diǎn)E到平面BPC的距離．

Answer 1

分析 （1）欲證平面EDB⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面EDB內(nèi)一直線(xiàn)與平面ABCD垂直，連接AC與BD相交于O，連接EO，而根據(jù)題意可得EO⊥平面ABCD；
（2）在底面作OH⊥BC，垂足為H，根據(jù)OE∥平面PBC可知點(diǎn)E到平面PBC的距離就是點(diǎn)O到平面PBC的距離OH，求出OH即可求出點(diǎn)E到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：連接AC與BD相交于O，連接EO，則EO∥PC，因?yàn)镻C⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
又EO?平面EDB，
所以平面EDB⊥平面ABCD；
（2）解：在底面作OH⊥BC，垂足為H，
因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面ABCD，
所以O(shè)H⊥平面PCB，
又因?yàn)镺E∥PC，
所以O(shè)E∥平面PBC，
所以點(diǎn)E到平面PBC的距離就是點(diǎn)O到平面PBC的距離OH，
因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ADC=60°，解得OH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．