Question

19．已知函數(shù)f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{4}$）（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）圖象的對稱軸，對稱中心．
（4）求f（x）的最大值以及達到最大值時x的值的集合．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對稱性、函數(shù)的最大值，得出結(jié)論．

解答 解：對于函數(shù)函數(shù)f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{4}$），（1）它的周期為$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（3）令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，可得函數(shù)的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，0），k∈Z．
（4）令2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，可得函數(shù)的最大值為2，此時，x滿足x∈{x|x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對稱性、最大值，屬于中檔題．