Question

7．已知集合A={（x，y）|x²+（y+1）²≤1}，B={（x，y）|$\sqrt{3}$x+y=4m}，命題p：A∩B=∅，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{2m}$+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)命題p是真命題，結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系，求出m的范圍即可；（2）分別求出p，q為真時(shí)的m的范圍，通過討論p，q的真假，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由命題p為真命題，
則d=$\frac{|\sqrt{3}×0+1×（-1）-4m|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}}$＞1…（3分）
解得：m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{3}{4}$         …（5分）
（2）若命題q為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{2m＞0}\\{1-m＞0}\\{2m＜1-m}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜$\frac{1}{3}$  …（8分）
∵“p∨q”為真，“p∧q”為假∴p，q一真一假…（9分）
若p真q假，則m≥$\frac{1}{3}$或m＜-$\frac{3}{4}$…（11分）；
若p假q真，則0＜m≤$\frac{1}{4}$ …（13分）
綜上：m的取值范圍為m≥$\frac{1}{3}$或m＜-$\frac{3}{4}$，或0＜m≤$\frac{1}{4}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了符合命題的判斷，考查直線和圓的位置關(guān)系以及橢圓的性質(zhì)，是一道基中檔題．