【題目】如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)．

【解析】(Ⅰ)由題：； (1)

左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)

由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．

(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

∵A，B在橢圓上，

∴．

設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，

代入橢圓：．

顯然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵點P(2，1)到直線l的距離為：．

∴SABP＝d|AB|＝，其中﹣＜m＜且m≠0．

利用導(dǎo)數(shù)解：令，

則

當m＝時，有(SABP)max．

此時直線l的方程

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