Question

3．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，取與極坐標(biāo)相同單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosa}\\{y=sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的平面直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P是曲線C₂上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3的最小距離．

Answer 1

分析 （1）講曲線C₁的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到直角坐標(biāo)方程，先將曲線C₂化成普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；
（2）把直線化成直角坐標(biāo)方程，求出C₂的圓心到直線的距離，減去半徑即為最小距離．

解答 解：（1）由ρ=2cosθ+2sinθ得，ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y．
曲線C₂的普通方程為（x-2）²+y²=1．即x²+y²-4x+3=0．
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0．
（2）曲線C₂的圓心為（2，0）．
∵ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3，∴$\frac{1}{2}ρ$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ=3，
直線ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3的直角坐標(biāo)方程為$\frac{1}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}x-3=0$，即$\sqrt{3}$x-y+6=0．
∴曲線C₂的圓心到直線的距離為$\frac{2\sqrt{3}+6}{2}$=$\sqrt{3}$+3＞1．
∴點(diǎn)P到直線ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3的最小距離為$\sqrt{3}+$3-1=$\sqrt{3}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．