Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P，若線段F₁P的中點(diǎn)Q恰好在雙曲線C的一條漸近線，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意可得F₁（-c，0），設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為0，解方程可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)可得b=2a，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：由題意可得F₁（-c，0），設(shè)P（m，n），
可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，③
中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{m-c}{2}$，$\frac{n}{2}$），且Q在漸近線y=-$\frac{a}$x上，
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，可得PF₁⊥PF₂，
即有OQ⊥PF₁，可得
$\frac{n}{m+c}$=$\frac{a}$，①
又$\frac{n}{2}$=-$\frac{a}$•$\frac{m-c}{2}$，②
由①②解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$，
代入③可得，$\frac{（^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由c²=a²+b²，化簡(jiǎn)可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和向量垂直的條件，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．