Question

在平面直角坐標系中，長度為3的線段AB的端點A、B分別在x，y軸上滑動，點M在線段AB上，且|AM|=2|MB|，
（1）若點M的軌跡為曲線C，求其方程；
（2）過點P（0，1）的直線l與曲線C交于不同兩點E、F，N是曲線上不同于E、F的動點，求△NEF面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設A，B，M的坐標，根據(jù)|AM|=2|MB|，確定坐標之間的關系，利用長度為3的線段AB的端點A、B分別在x，y軸上滑動，求出軌跡方程，即可求出曲線C的方程；
（2）分類討論，直線的斜率存在時，設l：y=kx+1代入橢圓方程，利用弦長公式，求出|EF|，再求出l，l′的距離，表示出△NEF面積，利用導數(shù)法，即可得到△NEF面積的最大值．

解答： 解：（1）設A（x₀，0），B（0，y₀），M（x，y）
∵|AM|=2|MB|，
∴

x-x0=-2x y=2y0-2y

，
∴x₀=3x，y₀=

3

2

y，
∵長度為3的線段AB的端點A、B分別在x，y軸上滑動，
∴x₀²+y₀²=9
∴x2+

y2

4

=1，
∴曲線C的方程是x2+

y2

4

=1    …..（4分）
（2）當直線的斜率不存在時，即l：x=0，此時（S_△NEF）_max=2  …..（5分）
當直線的斜率存在時，設l：y=kx+1，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
y=kx+1代入橢圓方程，可得（4+k²）+2kx-3=0，
有x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

，
∴|EF|=

(1+k2)[ 4k2 (4+k2)2 + 12 4+k2 ]

…..（7分）
由題知過N的直線l′∥l，且l′與橢圓切于N點時，S_△NEF最大，
故設l′：y=kx+b（b≤-2）
聯(lián)立l′與橢圓方程得（4+k²）+2kbx+b²-3=0，此時△=0，可得k²=b²-4
l，l′的距離d=

|b-1|

1+k2

，
∴S_△NEF=

1

2

•

(1+k2)[ 4k2 (4+k2)2 + 12 4+k2 ]

•

|b-1|

1+k2

=

2 b2-1

b2

|b-1|（b≤-2），…..（10分）
∴（S_△NEF）²=4（1+

1

b

）(1-

1

b

)3（b≤-2）
設y=（S_△NEF）²，t=

1

b

（-

1

2

≤t＜0），
有y=4（1+t）（1-t）³，
∴y′=-8（1-t）²（2t+1）＜0，
∴函數(shù)y在（-

1

2

，0），上單調遞減，
∴當t=-

1

2

時，函數(shù)y取得最大值

27

4

，即b=-2時，（S_△NEF）_max=

3 3

2

＞2
綜上所述，（S_△NEF）_max=

3 3

2

             …．（13分）．

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度大．