Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+x+q，集合A={x|f（x）=0，x∈R}，B={x|f（f（x））=0，x∈R}．
（1）若q=-2，試求集合A，B；
（2）若B只含有一個(gè)元素，試求q的值．

Answer 1

分析 （1）x²+x-2=0，可得A；x²+x-2=1或-2，可得B．
（2）由根據(jù)方程f（x）=0和f（f（x））=0之間的關(guān)系求出集合A，B滿(mǎn)足條件的集合關(guān)系，利用B為單元素集，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若q=-2，x²+x-2=0，∴x=1或-2，∴A={1，-2}；
x²+x-2=1，可得x=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$，x²+x-2=-2，可得x=0或-1，
∴B={$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$，0，-1}；
（2）∵集合A={x|f（x）=0，}，B={x|f（f（x））=0}
∴A⊆B
∴B={x|f（f（x）=0}={x|f²（x）+f（x）+q=0}={x|[（f（x）+$\frac{1}{2}$]²+q-$\frac{1}{4}$}
∵B為單元集，∴f（x）=-$\frac{1}{2}$，
∴B={q-$\frac{1}{4}$}，
A={x|f（x）=0}={x|x²+x+q=0，x∈R}，
當(dāng)A=∅時(shí)，B=∅不符題意，故A≠∅，
當(dāng)A={x|x=-$\frac{1}{2}$}時(shí)，△=1-4q=0，解得：q=$\frac{1}{4}$，
∴f（f（x））=（x²+x+$\frac{1}{4}$）²+（x²+x+$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$=0，
∵△=1-4×$\frac{1}{4}$=0
∴x²+x+$\frac{3}{4}$=0，方程無(wú)解，不符B為單元集，故A≠{x|x=-$\frac{1}{2}$}．
∴方程x²+x+q=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
∴A={$\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2}$}
∵A⊆B
∴當(dāng)$\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}$∈B時(shí)有$\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}$=q-$\frac{1}{4}$，解得：q₁=$\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}$或q₂=$\frac{-3-2\sqrt{3}}{4}$（舍去）．
同理當(dāng)$\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2}$∈B時(shí)有：q₁=$\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}$或q₂=$\frac{-3-2\sqrt{3}}{4}$（舍去）．
綜上，q₁=$\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，利用方程之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．