Question

8．若曲線f（x）=$\frac{aelnx}{x}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（0，-2e），則函數(shù)y=f（x）的極值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． e

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a=2，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到f（x）的極大值．

解答 解：f（x）=$\frac{aelnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{ae（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
可得在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為k=ae，
由兩點(diǎn)的斜率公式，可得ae=$\frac{0+2e}{1-0}$=2e，
解得a=2，f（x）=$\frac{2elnx}{x}$，
f′（x）=$\frac{2e（1-lnx）}{x}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=e處f（x）取得極大值，且為f（e）=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查兩點(diǎn)的斜率公式的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．