Question

13．已知遞增數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=3，$4{S_n}-4n+1={a_n}^2$．設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N^*）且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）試求所有的正整數(shù)m，使得$\frac{{{a_m}^2+{a_{m+1}}^2-{a_{m+2}}^2}}{{{a_m}{a_{m+1}}}}$為整數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的n∈N^*，不等式$λ{T_n}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$4{S_n}-4n+1={a_n}^2$，得${（{a_n}-2）^2}={a_{n-1}}^2$（n≥2），從而a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2）（舍），由此能證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由a_n=2n+1，知$\frac{{{a_m}^2+{a_{m+1}}^2-{a_{m+2}}^2}}{{{a_m}{a_{m+1}}}}=\frac{{{{（2m+1）}^2}+{{（2m+3）}^2}-{{（2m+5）}^2}}}{（2m-1）（2m+1）}$=$1-\frac{6}{2m+1}$∈Z，從而2m+1=3，由此能求出m．
（Ⅲ）由a_n=2n+1，知${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，從而得到T_n=$\frac{n}{3（2n+3）}$，從而$λ{T_n}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$對任意n∈N^*恒成立等價于$λ•\frac{n}{3（2n+3）}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$對任意n∈N^*恒成立，由此能求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答 證明：（Ⅰ）由$4{S_n}-4n+1={a_n}^2$…①
得$4{S_{n-1}}-4（n-1）+1={a_{n-1}}^2$（n≥2）…②，
由①-②得$4{a_n}-4={a_n}^2-{a_{n-1}}^2$（n≥2），
即${a_n}^2-4{a_n}+4={a_{n-1}}^2$，
即${（{a_n}-2）^2}={a_{n-1}}^2$（n≥2），
所以a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），
即a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2）．
若a_n+a_n-1=2（n≥2），則有a₁+a₂=2，而a₁=3，
所以a₂=-1，于是a₁＞a₂，這與數(shù)列{a_n}遞增矛盾，a_n+a_n-1=2（n≥2）應(yīng)舍去，
所以a_n-a_n-1=2（n≥2），故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
故$\frac{{{a_m}^2+{a_{m+1}}^2-{a_{m+2}}^2}}{{{a_m}{a_{m+1}}}}=\frac{{{{（2m+1）}^2}+{{（2m+3）}^2}-{{（2m+5）}^2}}}{（2m-1）（2m+1）}$
=$\frac{{4{m^2}-4m-15}}{（2m-1）（2m+1）}$
=$\frac{（2m-5）（2m+3）}{（2m+1）（2m+3）}=\frac{2m-5}{2m+1}=1-\frac{6}{2m+1}$，
因為$1-\frac{6}{2m+1}$∈Z，
所以$\frac{6}{2m+1}∈Z$，
又2m+1≥3且2m+1為奇數(shù)，所以2m+1=3，故m=1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，則${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{n}{3（2n+3）}$，
從而$λ{T_n}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$對任意n∈N^*恒成立等價于$λ•\frac{n}{3（2n+3）}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$對任意n∈N^*恒成立．
當(dāng)n為奇數(shù)時，$λ＜\frac{{3（2n+3）（n+\frac{2}{3}）}}{n}$恒成立，
記$f（n）=\frac{{3（2n+3）（n+\frac{2}{3}）}}{n}$），則$f（n）=\frac{{3（2n+3）（n+\frac{2}{3}）}}{n}$=$6（n+\frac{1}{n}）+13≥f（1）=25$，所以λ＜25，
當(dāng)n為偶數(shù)時，$λ＜\frac{{3（2n+3）（n-\frac{2}{3}）}}{n}$恒成立，
記$g（n）=\frac{{3（2n+3）（n-\frac{2}{3}）}}{n}=6（n-\frac{1}{n}）+5$，
顯然g（n）遞增，所以g（n）≥g（2）=14，所以λ＜14．
綜上，實數(shù)λ的取值范圍為λ＜14．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查實數(shù)值及實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．